Характеризационные теоремы в теории вероятностей

Характеризацио́нные теоре́мы в теории вероятностей и математической статистике, теоремы, устанавливающие связь между типом распределения случайных величин или случайных векторов и некоторыми общими свойствами функций от них.

Пример 1. Пусть ${\displaystyle X}$ – трёхмерный случайный вектор такой, что:

1) его проекции ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$, ${\displaystyle X_{3}}$ на какие-либо три взаимно ортогональные оси независимы и

2) плотность ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$, распределения вероятностей ${\displaystyle X}$ зависит только от ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$. Тогда распределение ${\displaystyle X}$ нормально и

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}\sigma ^{2}}}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2})\right\}}$,

где ${\displaystyle \sigma >0}$ – некоторая постоянная (закон Максвелла для распределения скоростей молекул при стационарном состоянии газа).

Пример 2. Пусть ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$ – случайный вектор с независимыми и одинаково распределёнными компонентами ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})}$. Если распределение нормально, то «эмпирическое среднее»

${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$

и «эмпирическая дисперсия»

${\displaystyle {\overline {s^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}(X_{j}-{\overline {X}})^{2}}$

будут независимыми случайными величинами. Обратно, если они независимы, то распределение ${\displaystyle X}$ нормально.

Пример 3. Пусть ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$ – вектор с независимыми и одинаково распределёнными компонентами, ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$, ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}}$ – отличные от нуля постоянные. Случайные величины

${\displaystyle Y_{1}=a_{1}X_{1}+\ldots +a_{n}X_{n}}$

и

${\displaystyle Y_{2}=b_{1}X_{1}+\ldots +b_{n}X_{n}}$

будут независимы тогда и только тогда, когда ${\displaystyle X}$ имеет нормальное распределение. Последнее утверждение остаётся верным, если предположение, что ${\displaystyle Y_{1}}$ и ${\displaystyle Y_{2}}$ независимы, заменить предположением, что они одинаково распределены, добавив, однако, некоторые ограничения на коэффициенты ${\displaystyle a_{j}}$ и ${\displaystyle b_{j}}$.

Подобного рода характеризация распределения случайного вектора ${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{n}}$ свойством одинаковой распределённости или независимости двух многочленов ${\displaystyle Q_{1}(X)}$ и ${\displaystyle Q_{2}(X)}$ даётся рядом характеристических теорем, играющих важную роль в математической статистике.