Формула Муавра

Фо́рмула Муа́вра, формула, дающая правило для возведения в степень ${\displaystyle n}$ комплексного числа, представленного в тригонометрической форме

${\displaystyle z=\rho (\cos j+i\sin j)}$.

Согласно формуле Муавра, модуль ${\displaystyle \rho }$ комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент ${\displaystyle \phi }$ умножается на показатель степени

${\displaystyle z^{n}=[\rho (\cos \phi +i\sin \phi )]^{n}=\rho ^{n}(\cos n\phi +i\sin n\phi )}$.

Эта формула найдена А. де Муавром (1707); современная запись предложена Л. Эйлером (1748). Формула Муавра может быть использована для выражения ${\displaystyle \cos n\phi }$ и ${\displaystyle \sin n\phi }$ через степени ${\displaystyle \cos \phi }$ и ${\displaystyle \sin \phi }$: положив в формуле Муавра ${\displaystyle \rho =1}$ и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получают

${\displaystyle \cos n\phi =\cos ^{n}\phi -C_{n}^{2}\cos ^{n-2}\phi \sin ^{2}\phi +C_{n}^{4}\cos ^{n-4}\phi \sin ^{4}\phi -\ldots }$,

${\displaystyle \sin n\phi =C_{n}^{1}\cos ^{n-1}\phi \sin \phi -C_{n}^{3}\cos ^{n-3}\phi \sin ^{3}\phi +\ldots }$

где ${\displaystyle C_{n}^{m}=n!/(m!(n-m)!)}$ – биномиальные коэффициенты.