Формула Лере

Фо́рмула Лере́ (формула Коши – Фантапье), формула интегрального представления голоморфных функций ${\displaystyle f(z)}$ многих комплексных переменных ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, обобщающая интегральную формулу Коши (см. Интеграл Коши).

Пусть ${\displaystyle D}$ – конечная область комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ с кусочно-гладкой границей ${\displaystyle \partial D}$; ${\displaystyle \chi (\zeta ;z):\partial D\to \mathbb {C} ^{n}}$ – любая гладкая вектор-функция от ${\displaystyle \zeta \in \partial D}$ со значениями в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ такая, что скалярное произведение

${\displaystyle <\zeta -z,\chi (\zeta ;z)>=\sum _{\nu =1}^{n}(\zeta _{\nu }-z_{\nu })\chi _{\nu }(\zeta ;z)\neq 0}$

всюду на ${\displaystyle \partial D}$ для всех ${\displaystyle z\in D}$. Тогда любая голоморфная в ${\displaystyle D}$ функция ${\displaystyle f(z)}$, непрерывная в замкнутой области ${\displaystyle {\bar {D}}}$, представима в виде

${\displaystyle f(z)={\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\partial D}{\frac {f(\zeta )\delta (\chi (\zeta ;z))\wedge d\zeta }{<\zeta -z,\chi (\zeta ;z)>^{n}}},\;z\in D.}$ (*)

Формула (*) обобщает классическую интегральную формулу Коши для аналитических функций одного комплексного переменного и называется формулой Лере. Ж. Лере, получивший эту формулу (см. Лере. 1961^[1]), назвал её формулой Коши – Фантапье. В этой формуле дифференциальные формы ${\displaystyle \delta (\chi (\zeta ;z))}$ и ${\displaystyle d\zeta }$ составляются по законам:

${\displaystyle \delta (\chi (\zeta ;z))=\sum _{\nu =1}^{n-1}(-1)^{\nu -1}\chi _{\nu }(\zeta ;z)d\chi _{1}(\zeta ;z)\wedge \ldots }$
${\displaystyle \ldots \wedge d\chi _{\nu -1}(\zeta ;z)\wedge d\chi _{\nu +1}(\zeta ;z)\wedge \ldots \wedge d\chi _{n}(\zeta ;z)}$

и

${\displaystyle d\zeta =d\zeta _{1}\wedge \ldots \wedge d\zeta _{n}}$,

где ${\displaystyle \wedge }$ – знак внешнего умножения (см. Внешнее произведение). Выбирая вид функции ${\displaystyle \chi }$, из формулы (*) можно получить различные интегральные представления. При этом следует иметь в виду, что, вообще говоря, интеграл Лере в формуле (*) не равен тождественно нулю, когда ${\displaystyle z}$ находится вне ${\displaystyle {\bar {D}}}$.

См. также Представление Бохнера – Мартинелли.