Формула Ленгмюра

Фо́рмула Ле́нгмюра, зависимость силы тока ${\displaystyle {i}}$ между анодом и катодом в вакууме от разности потенциалов ${\displaystyle {U}}$ между ними. Обычно электрический ток переносится электронами, но в несколько изменённом виде формулу Ленгмюра применяют и для тока ионов. Вылетающие из катода в результате термоэлектронной эмиссии или электронной эмиссии электроны тормозятся полем пространственного заряда, созданного между анодом и катодом уже вылетевшими ранее электронами. Конкретный вид формулы Ленгмюра зависит от формы электродов и геометрии пространства между ними, но во всех простых случаях сила тока пропорциональна ${\displaystyle {U}^{3/2}}$. Поэтому формулу Ленгмюра называют ещё законом трёх вторых.

Для плоских бесконечно протяжённых электродов зависимость ${\displaystyle {i(U)}}$ впервые вывел (1911) американский физик К. Чайлд при предположении, что начальная скорость электронов равна нулю:

${\displaystyle {i}={\frac {1}{9\pi }}({\frac {2e}{m}})^{1/2}{\frac {{U}^{3/2}}{d^{2}}}}$.

Здесь ${\displaystyle {d}}$ – расстояние между электродами, ${\displaystyle {e}}$ и ${\displaystyle {m}}$ – электрический заряд и масса электрона соответственно. И. Ленгмюр исследовал (1913) зависимость для других конфигураций электродов. Так, для коаксиальных цилиндрических электродов, из которых катод – внутренний, формула Ленгмюра имеет вид:

${\displaystyle {j}={\frac {2}{9}}({\frac {2e}{m}})^{1/2}{\frac {{U}^{3/2}}{{\boldsymbol {r}}\beta ^{2}}}}$,

где ${\displaystyle {j}}$ – сила тока на единицу длины цилиндра, ${\displaystyle \beta }$ – функция отношения радиусов внешнего ${\displaystyle {({\boldsymbol {r}})}}$ и внутреннего цилиндров.

Для электродов в виде концентрических сфер формула Ленгмюра принимает вид:

${\displaystyle {I}={\frac {4}{9}}({\frac {2e}{m}})^{1/2}{\frac {U^{3/2}}{{\boldsymbol {\rho }}^{2}}}}$,

где ${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$ – функция отношения радиусов внешней и внутренней сфер, ${\displaystyle {I}}$ – полная сила тока на сферу.

Формула Ленгмюра используется при расчёте и конструировании вакуумных электронных приборов (особенно ламп с накалённым катодом).