Фильтрованный модуль

Фильтро́ванный мо́дуль, модуль ${\displaystyle M}$, снабжённый возрастающей или убывающей фильтрацией, т. е. возрастающим или убывающим семейством подмодулей ${\displaystyle \left(M_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$. Фильтрация называется исчерпывающей, если ${\displaystyle M=\mathrm {U} _{n\in \mathbb {Z} }M_{n}}$, и отделимой, если ${\displaystyle \cap _{n\in \mathbb {Z} }M_{n}=0}$. Если ${\displaystyle N}$ – подмодуль фильтрованного модуля ${\displaystyle M}$, то на ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle M/N}$ естественным образом определяются фильтрации. Если ${\displaystyle M=\sum _{n\in \mathbb {Z} }M_{(n)}}$ – градуированный модуль, то подмодули ${\displaystyle M_{n}=\sum _{i\geqslant n}M_{(i)}}$ определяют в ${\displaystyle M}$ исчерпывающую и отделимую убывающую фильтрацию. Обратно, с любым фильтрованным модулем ${\displaystyle M}$, снабжённым, например, убывающей фильтрацией, связывается градуированный модуль

${\displaystyle \operatorname {gr} M=\oplus _{n\in \mathbb {Z} }\operatorname {gr} _{n}M}$,

где ${\displaystyle \mathrm {gr} _{n}M=M_{n}/M_{n+1}}$. Фильтрация ${\displaystyle \left(M_{n}\right)_{n\in \mathbb {Z} }}$ определяет на модуле ${\displaystyle M}$ топологию, в которой подмодули ${\displaystyle M_{n}}$ составляют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима тогда и только тогда, когда фильтрация отделима, и дискретна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M_{n}=0}$ для некоторого ${\displaystyle n}$.