Устойчивость по Лагранжу

Усто́йчивость по Лагра́нжу, свойство точки ${\displaystyle x}$ (траектории ${\displaystyle f^{t}x}$ ) динамической системы ${\displaystyle f^{t}}$ [или ${\displaystyle f(t,\cdot )}$, см. Немыцкий, Степанов. 1949], заданной на метрическом пространстве ${\displaystyle S}$, состоящее в том, что все точки траектории ${\displaystyle f^{t}x}$ содержатся в некотором предкомпактном множестве.

Если ${\displaystyle S=\mathbb {R} ^{n}}$, то устойчивость по Лагранжу – то же, что ограниченность траектории. Если при всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}$ (соответственно, при всех ${\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{-}}$ ) точки ${\displaystyle f^{t}x}$ содержатся в некотором предкомпактном множестве, то траектория ${\displaystyle f^{t}x}$ (точка ${\displaystyle x}$ ) называется положительно (соответственно, отрицательно) устойчивой по Лагранжу. Понятие устойчивости по Лагранжу введено А. Пуанкаре в связи с анализом результатов Ж.-Л. Лагранжа по устойчивости планетных орбит.

Теорема Биркгофа: если ${\displaystyle S}$ полно, то замыкание положительно или отрицательно устойчивой по Лагранжу траектории содержит хотя бы одно минимальное множество. Всякая точка минимального множества является рекуррентной точкой.