Уравнение Пфаффа

Уравне́ние Пфа́ффа, уравнение вида

${\displaystyle X_{1}dx_{1}+\ldots +X_{n}dx_{n}=0}$,

где ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ – заданные функции независимых переменных ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$. В случае трёх независимых переменных ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$ уравнение Пфаффа может быть записано в виде

${\displaystyle Pdx+Qdy+Rdz=0,}$ (*)

где ${\displaystyle P=P(x,y,z)}$, ${\displaystyle Q=Q(x,y,z)}$, ${\displaystyle R=r(x,y,z)}$. Геометрически решение уравнения (*) означает нахождение кривых в пространстве, ортогональных в каждой своей точке векторному полю (${\displaystyle P}$, ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle R}$), т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (*). Теория уравнений Пфаффа обобщена на случай систем уравнений Пфаффа, играющих важную роль в приложениях. Уравнения Пфаффа и системы уравнений Пфаффа встречаются в механике неголономных систем, т. к. неголономные связи суть уравнения Пфаффа между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.

Уравнения Пфаффа изучались немецким математиком И. Ф. Пфаффом в 1814–1815 гг.