Уравнение Монжа – Ампера

Уравне́ние Мо́нжа – Ампе́ра, дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка вида

${\displaystyle rt-s^{2}=ar+2bs+ct+\phi ,}$
${\displaystyle r={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}},\,s={\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}},\,t={\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}},}$

где коэффициенты ${\displaystyle a,b,c}$ и функция ${\displaystyle \phi }$ зависят от переменных ${\displaystyle x,y}$, неизвестной функции ${\displaystyle z(x,y)}$ и её первых производных ${\displaystyle p={\frac {\partial z}{\partial x}}}$, ${\displaystyle q={\frac {\partial z}{\partial y}}}$. Тип уравнения Монжа – Ампера зависит от знака выражения

${\displaystyle \Delta =\phi +ac-b^{2}}$.

Если ${\displaystyle \Delta >0}$, уравнение Монжа – Ампера является уравнением эллиптического типа, если ${\displaystyle \Delta <0}$ – гиперболического, если ${\displaystyle \Delta =0}$ – параболического. Развитие теории уравнений Монжа – Ампера связано главным образом с решением различных задач геометрии; ряд физических задач (например, в метеорологии) также приводит к уравнениям такого типа.

Уравнения Монжа – Ампера рассматривались Г. Монжем (1784) и А. Ампером (1820).