Теория Калуцы – Клейна

Тео́рия Калу́цы – Кле́йна, теория поля в пятимерном пространстве-времени (одна временнáя и четыре пространственные координаты), объединяющая электромагнитное и гравитационное взаимодействия на геометрической основе. Предложена немецким физиком Т. Калуцей (1921) и шведским физиком О. Клейном (1926). Впоследствии над её развитием много лет работал А. Эйнштейн. Дополнительная, пятая координата, вводимая в теории, является компактной (её значения лежат на окружности) и имеет настолько малый размер, что для макроскопического наблюдателя она незаметна (все измеряемые наблюдателем физические величины не зависят от её значения). Основной результат теории состоит в том, что лагранжиан гравитационного взаимодействия в пятимерном пространстве-времени для четырёхмерного макроскопического наблюдателя представляется как сумма лагранжиана эйнштейновской теории гравитации в четырёхмерном пространстве-времени и лагранжиана максвелловской теории электромагнитного взаимодействия.

Первоначальная теория имеет чисто исторический интерес, поскольку в ней нет места для элементарных частиц с полуцелым спином (фермионов), а также для сильного и слабого взаимодействий. Но сама идея многомерных единых теорий поля, в которых пространство-время имеет размерность ${\displaystyle 4+d}$, переживает новый расцвет в связи с успехами теорий суперсимметрии, супергравитации и суперструн. В одних вариантах таких теорий по аналогии с первоначальной теорией Калуцы – Клейна предполагается, что дополнительные ${\displaystyle d}$-измерения каким-либо образом компактифицируются в замкнутое ${\displaystyle d}$-мерное пространство с характерными размерами порядка планковской длины ${\displaystyle l_{Pl}}$ = ${\displaystyle {\sqrt[{a}]{G{\text{ℏ}}/c^{3}}}\approx 10^{-33}}$ см, где ${\displaystyle G}$ – гравитационная постоянная, ${\displaystyle {\text{ℏ}}}$ – постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ – скорость света. Симметрия этого ${\displaystyle d}$-мерного пространства определяет внутренние симметрии и калибровочные симметрии сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий. В теорию может быть включена суперсимметрия, что позволяет объединить бозоны и фермионы. Для четырёхмерного макроскопического наблюдателя такая теория содержит бесконечное число квантовых полей с различными спинами. Наибольший интерес представляет десятимерная теория типа Калуцы – Клейна ${\displaystyle (d=6)}$, которая возникает в теории суперструн, или одиннадцатимерная теория, появляющаяся в некотором пределе т. н. М-теории. В других современных моделях многомерной теории поля (например, в модели Рэндалл – Сундрума) совершается радикальный выход за рамки первоначальной теории в трёх направлениях: 1) характерный масштаб дополнительных измерений предполагается существенно большим ${\displaystyle l_{Pl}}$ (хотя и меньшим 0,005 см, что следует из лабораторных опытов по проверке закона всемирного тяготения на малых расстояниях); 2) допускается, что некоторые дополнительные измерения могут быть некомпактными; 3) в отличие от теории Калуцы – Клейна, где все наблюдаемые элементарные частицы и поля (кроме гравитационного) равномерно размазаны по дополнительным координатам, рассматривается противоположный случай, когда они сосредоточены на очень тонких гиперплоскостях – бранах – толщиной порядка ${\displaystyle l_{Pl}}$.