Теоремы Силова

Теоре́мы Си́лова, три теоремы о максимальных ${\displaystyle p}$-подгруппах конечной группы, доказанные П. Л. Силовом ([603,%22view%22:%22info%22} Sуlоw L. Théorèmes sur les groupes de substitutions // Mathematische Annalen, 1872. Bd. 5. S. 584–594]) и играющие большую роль в теории конечных групп. Иногда объединение всех трёх теорем называется теоремой Силова.

Пусть ${\displaystyle G}$ – конечная группа порядка ${\displaystyle p^{m}s}$, где ${\displaystyle p}$ – простое число, не делящее число ${\displaystyle s}$. Тогда имеют место следующие теоремы.

Первая теорема Силова: группа ${\displaystyle G}$ содержит подгруппы порядков ${\displaystyle p^{i}}$ для всех ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,m}$, причём каждая подгруппа порядка ${\displaystyle p^{i}-1}$ является нормальной подгруппой по крайней мере в одной подгруппе порядка ${\displaystyle p^{i}}$. Из этой теоремы, в частности, следуют такие важные утверждения: в группе ${\displaystyle G}$ существует силовская подгруппа порядка ${\displaystyle p^{m}}$; любая ${\displaystyle p}$-подгруппа группы ${\displaystyle G}$ содержится в некоторой силовской ${\displaystyle p}$-подгруппе порядка ${\displaystyle p^{m}}$, индекс силовской ${\displaystyle p}$-подгруппы не делится на ${\displaystyle p}$; если ${\displaystyle G=P}$ есть группа порядка ${\displaystyle p^{m}}$, то любая её собственная подгруппа содержится в некоторой максимальной подгруппе порядка ${\displaystyle p^{m}-1}$ и все максимальные подгруппы группы ${\displaystyle P}$ нормальны.

Вторая теорема Силова: все силовские ${\displaystyle p}$-подгруппы конечной группы сопряжены между собой. Для бесконечных групп аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.

Третья теорема Силова: число силовских ${\displaystyle p}$-подгрупп конечной группы делит порядок группы и сравнимо с единицей по модулю ${\displaystyle p}$.

Для произвольных множеств ${\displaystyle \pi }$ простых чисел аналогичные теоремы о силовских ${\displaystyle \pi }$-подгруппах получены лишь в классе конечных разрешимых групп (см. Холлова подгруппа). В неразрешимых группах ситуация иная. Например, в знакопеременной группе ${\displaystyle A_{5}}$ степени ${\displaystyle 5}$ для ${\displaystyle \pi =\{2,3\}}$ есть силовская ${\displaystyle p}$-подгруппа ${\displaystyle S}$ порядка ${\displaystyle 6}$, индекс которой делится на число из ${\displaystyle \pi }$. Кроме того, в ${\displaystyle A_{5}}$ есть силовская ${\displaystyle \pi }$-подгруппа, изоморфная ${\displaystyle A_{4}}$ и несопряжённая с ${\displaystyle S}$. Число силовских ${\displaystyle \pi }$-подгрупп в ${\displaystyle A_{5}}$ не делит порядок группы ${\displaystyle A_{5}}$.