Теорема Чебышёва

Теоре́ма Чебышёва, если функция ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$ и

${\displaystyle A=\max _{a\leqslant x\leqslant b}\mid f(x)-P_{n}(x)\mid }$,

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$,

то ${\displaystyle P_{n}(x)}$ тогда и только тогда является многочленом наилучшего равномерного приближения для функции ${\displaystyle f(x)}$, т. е.

${\displaystyle \max _{a\leqslant x\leqslant b}\mid f(x)-P_{n}(x)\mid =\min _{\{c_{k}\}_{0}^{n}}\max _{a\leqslant x\leqslant b}\left|f(x)-\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}\right|}$,

когда существуют ${\displaystyle n+2}$ точки ${\displaystyle \left\{x_{i}\right\}}$, ${\displaystyle a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n+1}\leqslant b}$, образующие чебышёвский альтернанс, т. е. удовлетворяющие условию

${\displaystyle f(x_{i})-P_{n}(x_{i})=\varepsilon (A)(-1)^{i},\quad i=0,1,\dots ,n+1}$,

где ${\displaystyle \varepsilon =1}$ или ${\displaystyle -1}$. Сформулированная теорема была доказана П. Л. Чебышёвым в 1854 г. (^[1]) в более общем виде, а именно для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя. Теорема Чебышёва сохраняет силу, если вместо алгебраических многочленов рассматривать полином

${\displaystyle P_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\varphi _{k}(x)}$,

где ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\}_{k=0}^{n}}$ – система Чебышёва. Критерий, сформулированный в теореме Чебышёва, применяется в методах приближённого построения полиномов наилучшего равномерного (чебышёвского) приближения. В несколько иной формулировке теорема Чебышёва распространяется на приближение функций комплексного переменного (^[2]) и абстрактных функций (Зуховицкий. 1956).