Теорема Гильберта об инвариантах

Теоре́ма Ги́льберта об инвариа́нтах, теорема, устанавливающая конечнопорождённость алгебры всех многочленов на комплексном векторном пространстве форм степени ${\displaystyle d}$ от ${\displaystyle r}$ переменных, инвариантных относительно действия полной линейной группы ${\displaystyle GL(r,\mathbb {C} )}$, определяемого линейными заменами этих переменных. Первое доказательство теоремы, использующее теорему Гильберта о базисе и формальные процессы теории инвариантов, дано в работе Гильберта (см. Hilbert. 1890). Д. Гильберт (Hilbert. 1893) конструктивно доказал эту теорему и получил оценку сверху для степеней образующих указанной алгебры инвариантов (что в принципе даёт возможность их выписать явно).

Теорема Гильберта является первой основной теоремой теории инвариантов для ${\displaystyle d}$-й симметрической степени стандартного представления ${\displaystyle GL(r,\mathbb {C} )}$. Доказательство теоремы Гильберта стимулировало постановку вопроса о конечнопорождённости алгебр инвариантов для подгрупп группы ${\displaystyle GL(r,\mathbb {C} )}$, а также постановку 14-й проблемы Гильберта. Используя теорию интегрирования на группах, Г. Вейль доказал конечнопорождённость алгебры инвариантов для любых конечномерных представлений компактных групп Ли и комплексных полупростых групп Ли (см. Вейль. 1947).

Теоремой Гильберта принято называть также следующее её обобщение: если ${\displaystyle R}$ – алгебра конечного типа над полем ${\displaystyle k}$, ${\displaystyle G}$ – геометрически редуктивная группа её ${\displaystyle k}$-автоморфизмов и ${\displaystyle R^{G}}$ – подалгебра всех ${\displaystyle G}$-инвариантных элементов в ${\displaystyle R}$, то ${\displaystyle R^{G}}$ также имеет конечный тип над ${\displaystyle k}$ (см. Mumford. 1965^[1]; Nagata. 1964).