Таблица Юнга

Табли́ца Ю́нга порядка ${\displaystyle m}$, графическое представление разбиения ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})}$ натурального числа ${\displaystyle m}$ (где ${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Z} ,\;\lambda _{1}\geqslant \lambda _{2}\geqslant \ldots \geqslant \lambda _{r}>0,\;\sum \lambda _{i}=m}$). Таблица Юнга ${\displaystyle t_{\lambda }}$ состоит из ${\displaystyle m}$ клеток, располагающихся в её строках и столбцах таким образом, что в ${\displaystyle i}$-й строке находится ${\displaystyle \lambda _{i}}$ клеток, причём первые клетки всех строк находятся в одном (первом) столбце. Например, разбиение ${\displaystyle (6,5,4,4,1)}$ числа ${\displaystyle 20}$ представляется таблицей Юнга (см. таблицу).

Транспонированная таблица Юнга ${\displaystyle t_{\lambda }^{\prime }}$ соответствует сопряжённому разбиению ${\displaystyle \lambda ^{\prime }=(\lambda _{1}^{\prime },\ldots ,\lambda _{s}^{\prime })}$, где ${\displaystyle \lambda _{j}^{\prime }}$ – число клеток в ${\displaystyle j}$-м столбце таблицы Юнга. Так, в приведённом выше примере сопряжённым разбиением будет ${\displaystyle (5,4,4,4,2,1)}$.

Каждая клетка таблицы Юнга определяет два множества клеток – т. н. крюк и косой крюк. Пусть ${\displaystyle c_{ij}}$ – клетка, находящаяся в ${\displaystyle i}$-й строке и ${\displaystyle j}$-м столбце данной таблицы Юнга. Соответствующий ей крюк ${\displaystyle h_{ij}}$ есть множество, состоящее из клеток ${\displaystyle c_{il}}$ с ${\displaystyle l\geqslant j}$ и ${\displaystyle c_{kj}}$ с ${\displaystyle k\geqslant i}$, а косой крюк есть наименьшее связное множество крайних клеток, содержащее последнюю клетку ${\displaystyle i}$-й строки и последнюю клетку ${\displaystyle j}$-го столбца. Например, для изображённой слева таблицы Юнга крюк и косой крюк, определяемые клеткой ${\displaystyle c_{22}}$, имеют вид, показанный на таблице в центре и справа соответственно.

Длиной крюка (соответственно косого крюка) называется число входящих в него клеток. Длина крюка ${\displaystyle h_{ij}}$ равна ${\displaystyle \lambda _{ij}=\lambda _{i}+\lambda _{j}^{\prime }-i-j+1}$. При удалении из таблицы Юнга косого крюка длины ${\displaystyle p}$ получается таблица Юнга порядка ${\displaystyle m-p}$. Высотой крюка (соответственно косого крюка) называется число строк, в которых располагаются его клетки.

Язык таблиц Юнга и диаграмм Юнга используется в теории представлений симметрических групп и в теории представлений классических групп. Он был предложен А. Юнгом (Joung. 1900^[1]; 1901^[2]).