Стохастическая последовательность

Стохасти́ческая после́довательность, последовательность случайных величин ${\displaystyle X=\left(X_{n}\right)_{n\geqslant 1}}$, заданная на измеримом пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$, с выделенным на нём неубывающим семейством ${\displaystyle \sigma }$-алгебр ${\displaystyle \left({\mathcal {F}}_{n}\right)_{n\geqslant 1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}\subseteq {\mathcal {F}}}$, обладающих свойством согласованности (адаптированности): ${\displaystyle X_{n}}$ при каждом ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-измеримы. Для записи таких последовательностей часто используется обозначение ${\displaystyle X=\left(X_{n},{\mathcal {F}}_{n}\right)_{n\geqslant 1}}$, подчёркивающее измеримость ${\displaystyle X_{n}}$ относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$. Типичными примерами стохастических последовательностей, заданных на вероятностном пространстве ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathrm {P} )}$, являются марковские последовательности, мартингалы, семимартингалы и др. В случае непрерывного времени (когда дискретное время ${\displaystyle n\geqslant 1}$ заменяется на ${\displaystyle t\geqslant 0}$) соответствующая совокупность объектов ${\displaystyle X=\left(X_{t},{\mathcal {F}}_{t}\right)_{t\geqslant 0}}$ называется стохастическим процессом.