Степенная функция

Степенна́я фу́нкция, функция ${\displaystyle y=x^{a}}$, где ${\displaystyle a}$ – постоянное число.

При ${\displaystyle x>0}$ степенная функция определена и положительна для любого действительного ${\displaystyle a}$. При ${\displaystyle x\leqslant 0}$ степенная функция ${\displaystyle x^{a}}$ определена в следующих случаях:

при ${\displaystyle x=0}$ степенная функция ${\displaystyle x^{a}}$ определена и равна нулю, если ${\displaystyle a>0}$, и не определена, если ${\displaystyle a<0}$;

степенная функция ${\displaystyle x^{0}\equiv 1}$ при ${\displaystyle x\neq 0}$ (${\displaystyle 0^{0}}$определённого смысла не имеет);

если${\displaystyle n}$ – натуральное число, то степенная функция ${\displaystyle x^{n}}$ определена при всех ${\displaystyle x}$, а степенная функция ${\displaystyle x^{-n}={\frac {1}{x^{n}}}}$ определена при ${\displaystyle x\neq 0}$;

степенная функция ${\displaystyle x^{1/n}={\sqrt[{n}]{x}}}$, где ${\displaystyle n}$ – нечётное натуральное число, определена и отрицательна при ${\displaystyle x<0}$.

Производная степенной функции

${\displaystyle (x^{a})'=ax^{a-1}}$,

неопределённые интегралы

${\displaystyle \int x^{a}dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$

при ${\displaystyle a\neq -1}$,

${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln \mid x\mid +C}$.

Для комплексных ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle a}$ степенная функция ${\displaystyle z^{a}}$ определяется формулой

${\displaystyle z^{a}=e^{a(\ln \mid z\mid +i{\text{arg}}\,z+2\pi ki)}}$,

где ${\displaystyle i}$ – мнимая единица, ${\displaystyle {\text{arg}}\,z}$ – главное значение аргумента комплексного числа ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle -\pi <{\text{arg}}\,z\leqslant \pi }$, ${\displaystyle k=0,\pm 1,\pm 2,..}$.. Степенная функция ${\displaystyle z^{a}}$ однозначна только при целых значениях ${\displaystyle a}$. Если ${\displaystyle a=m/n}$ – несократимая дробь, то степенная функция ${\displaystyle z^{a}}$ является ${\displaystyle n}$-значной. В остальных случаях степенная функция ${\displaystyle z^{a}}$ бесконечнозначна. Если${\displaystyle a}$ – действительное число, то все значения степенной функции ${\displaystyle z^{a}}$ находятся по формуле

${\displaystyle z^{a}=\mid z\mid ^{a}e^{ia({\text{arg}}\,z+2\pi k)},\,\ \ \ \ k=0,\pm 1,\pm 2,...}$.