Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние, операция, определяемая для трёх векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$, заданных в трёхмерном пространстве, результатом которой является число, равное скалярному произведению векторного произведения ${\displaystyle {\vec {a}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}}$ на вектор ${\displaystyle {\vec {c}}}$:

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=[{\vec {a}}\,{\vec {b}}]\,{\vec {c}}}$.

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не изменится, если в нём поменять местами знаки векторного и скалярного произведения, т. е.

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=[{\vec {a}}\,{\vec {b}}]\,{\vec {c}}={\vec {a}}\,[{\vec {b}}\,{\vec {c}}]}$.

2. Смешанное произведение не изменится, если переставлять сомножители в круговом порядке:

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}={\vec {c}}\,{\vec {a}}\,{\vec {b}}={\vec {b}}\,{\vec {c}}\,{\vec {a}}}$.

3. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=-{\vec {b}}\,{\vec {a}}\,{\vec {c}},\quad {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=-{\vec {c}}\,{\vec {b}}\,{\vec {a}},\quad {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=-{\vec {a}}\,{\vec {c}}\,{\vec {b}}}$.

4. Смешанное произведение положительно, если векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ образуют правую тройку векторов, смешанное произведение отрицательно, если векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ образуют левую тройку векторов.

5. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ компланарны.

6. Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Смешанное произведение векторов ${\displaystyle {\vec {a}}=\{x_{1},y_{1},z_{1}\}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}=\{x_{2},y_{2},z_{2}\}}$, ${\displaystyle {\vec {c}}=\{x_{3},y_{3},z_{3}\}}$ в правой декартовой системе координат задается формулой

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}={\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}}$.

В левой декартовой системе координат смешанное произведение векторов определяется по формуле

${\displaystyle {\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}=-{\begin{matrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{matrix}}}$.

Квадрат смешанного произведения векторов ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$ равен определителю Грама, определяемому этими векторами:

${\displaystyle \left({\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}\,\right)^{2}={\begin{matrix}({\vec {a}},\\veca)&({\vec {a}},\\vecb)&({\vec {a}},\\vecc)\\({\vec {b}},\\veca)&({\vec {b}},\\vecb)&({\vec {b}},\\vecc)\\\ ({\vec {c}},\\veca)&({\vec {c}},\\vecb)&({\vec {c}},\\vecc)\end{matrix}}}$.

Геометрический смысл смешанного произведения (геометрический смысл определителя 3-го порядка): объем параллелепипеда, построенного на векторах ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {c}}}$, равен модулю смешанного произведения:

${\displaystyle V_{\text{пар}}=\left|{\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}\right|}$,

а объем образованной этими векторами треугольной пирамиды:

${\displaystyle V_{\text{пир}}={\frac {1}{6}}\left|{\vec {a}}\,{\vec {b}}\,{\vec {c}}\right|}$.

В ${\displaystyle n}$-мерном пространстве смешанным произведением векторов ${\displaystyle {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},\ldots ,{\vec {a}}_{n}}$ называется определитель матрицы ${\displaystyle n\times n}$, строками или столбцами которой являются координаты векторов. Смыслом этой величины является ориентированный ${\displaystyle n}$-мерный объём.