Риманова кривизна

Ри́манова кривизна́, мера отличия метрик риманова и евклидова пространств. Пусть ${\displaystyle M}$ – точка риманова пространства, ${\displaystyle F}$ – двумерная регулярная поверхность ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(u,v)}$, проходящая через ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle L}$ – простой замкнутый контур на ${\displaystyle F}$, проходящий через ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle \sigma }$ – площадь участка поверхности, ограниченного контуром ${\displaystyle L}$. Пусть произвольный вектор ${\displaystyle a^{i}}$, касательный к поверхности ${\displaystyle F}$ (т. е. линейно выражающийся через векторы ${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u}},{\frac {\partial x^{i}}{\partial v}}}$), перенесён параллельно по ${\displaystyle L}$. Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к ${\displaystyle F}$, окажется повернутой по отношению к ${\displaystyle a^{i}}$ на угол ${\displaystyle \varphi }$ (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода ${\displaystyle L}$). Если при стягивании ${\displaystyle L}$ в точку ${\displaystyle M}$ существует предел

${\displaystyle K=\lim {\frac {\varphi }{\sigma }}}$,

то он называется римановой кривизной (кривизной риманова пространства) в данной точке в направлении двумерной поверхности; риманова кривизна зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке ${\displaystyle M}$, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащего векторы ${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u}},{\frac {\partial x^{i}}{\partial v}}}$.

Риманова кривизна ${\displaystyle K}$ связана с тензором кривизны формулой

${\displaystyle K=\sum _{m,l,k,j}R_{mlkj}x^{ml}x^{kj}}$,

где

${\displaystyle x^{ml}=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial x^{m}}{\partial u}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial v}}-{\frac {\partial x^{l}}{\partial u}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial v}}\right)}$,

причём параметры ${\displaystyle u,v}$ выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах ${\displaystyle {\frac {\partial x^{i}}{\partial u}},{\frac {\partial x^{i}}{\partial v}}}$, равна ${\displaystyle 1}$.