Вероятностная мера

Вероя́тностная ме́ра, действительная неотрицательная функция ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ на классе ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ подмножеств (событий) непустого множества ${\displaystyle \Omega }$ (пространства элементарных событий), образующем борелевское поле (т. е. замкнутом относительно теоретико-множественных операций, производимых в счётном числе), такая, что

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\Omega )=1\quad {\text{и}}\quad {\mathsf {P}}{\Bigl (}\,\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}{\Bigr )}=\sum _{i=1}^{\infty }{\mathsf {P}}(A_{i})}$,

если ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ при ${\displaystyle i\neq j}$ (счётная аддитивность).

Примеры вероятностных мер:

1) ${\displaystyle \Omega =\{1,2\}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – класс всех подмножеств ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{1\})={\text{Р}}(\{2\})={}^{1}/{}_{2}}$ [эта вероятностная мера отвечает случайному эксперименту с подбрасыванием симметричной монеты; гербу ставится в соответствие ${\displaystyle 1}$, решётке – ${\displaystyle 2}$; вероятность выпадения герба (решётки) равна ${\displaystyle {}^{1}/{}_{2}}$];

2) ${\displaystyle \Omega =\{0,1,2,\ldots \}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – класс всех подмножеств ${\displaystyle \Omega }$,

${\displaystyle {\mathsf {P}}(\{k\})={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}$,

где ${\displaystyle \lambda >0}$ (распределение Пуассона);

3) ${\displaystyle \Omega =R^{1}}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – класс борелевских подмножеств ${\displaystyle R^{1}}$,

${\displaystyle {\mathsf {P}}(A)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{A}e^{-x^{2}/2}\,dx}$

(нормальное распределение);

4) ${\displaystyle \Omega =C_{0}[0,1]}$ – пространство обращающихся в нуле в нуль непрерывных действительных функций ${\displaystyle x(t)}$ на ${\displaystyle [0,1]}$, ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ – класс борелевских подмножеств ${\displaystyle \Omega }$ относительно топологии равномерной сходимости, ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ – мера, однозначно определяемая формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {P}}{\big (}\{x:a_{i}<x(t_{i})<b_{i},\ i=1,\ldots ,n\}{\big )}=\\=(2\pi )^{-n/2}\prod _{i=1}^{n}(t_{i}-t_{i-1})^{-1/2}\times \\\times \int \limits _{a_{1}}^{b_{1}}\ldots \int \limits _{a_{n}}^{b_{n}}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-x_{i-1})^{2}}{t_{i}-t_{i-1}}}\right\}\,dx_{1}\ldots dx_{n},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle n}$ – произвольное натуральное число и ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}\leqslant 1}$ (мера Винера).

Вероятностная мера полностью определяет распределение вероятностей.