Псевдопериодическая функция

Псевдопериоди́ческая фу́нкция с периодами ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}}$, функция ${\displaystyle f\left(t,u_{1},\ldots ,u_{r}\right)}$ от ${\displaystyle r+1}$ переменных, удовлетворяющая условиям:

${\displaystyle }$
${\displaystyle f\left(t,u_{1},\ldots ,u_{i}+\omega _{i},\ldots ,u_{r}\right)=f\left(t,u_{1},\ldots ,u_{i},\ldots ,u_{r}\right),}$
${\displaystyle i=1,\ldots ,r;}$
${\displaystyle f\left(t+\omega _{0},u_{1},\ldots ,u_{r}\right)=f\left(t,u_{1}+\omega _{0},\ldots ,u_{r}+\omega _{0}\right).}$
${\displaystyle }$

Пример: если ${\displaystyle f_{0}(t)}$ и f${\displaystyle _{1}(t)}$ – непрерывные периодические функции с периодами ${\displaystyle \omega _{0}}$ и ${\displaystyle \omega _{1}}$ соответственно, причём отношение ${\displaystyle \omega _{0}/\omega _{1}}$ иррационально, то ${\displaystyle f\left(t,u_{1}\right)=f_{0}(t)+f_{1}\left(t+-u_{1}\right)}$ является псевдопериодической функцией.

Псевдопериодическая функция связана с квазипериодической функцией и определяется по ней единственным образом: функция ${\displaystyle F(t)}$ квазипериодична с периодами ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}}$ тогда и только тогда, когда существует такая непрерывная псевдопериодическая функция ${\displaystyle f\left(t,u_{1},\ldots ,u_{r}\right)}$ с периодами ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1},\ldots ,\omega _{r}}$, что ${\displaystyle F(t)=f(t,0,\ldots ,0)}$.