Производная Римана

Произво́дная Ри́мана (производная Шварца, вторая симметрическая производная) функции ${\displaystyle f(x)}$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$, предел

${\displaystyle D^{2}f(x_{0})=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-2f(x_{0})+f(x_{0}-h)}{h^{2}}}}$.

Введена Б. Риманом в 1854 г. (Риман. 1948^[1]); он доказал, что если в точке ${\displaystyle x_{0}}$ существует вторая производная ${\displaystyle f''(x_{0})}$, то существует производная Римана и ${\displaystyle D^{2}f(x_{0})=f''(x_{0})}$. Верхний и нижний пределы

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-2f(x_{0})+f(x_{0}-h)}{h^{2}}}}$

при ${\displaystyle h\to 0}$ называются соответственно верхней ${\displaystyle {\overline {D^{2}}}f(x_{0})}$ и нижней ${\displaystyle {\underline {D^{2}}}f(x_{0})}$ производной Римана.

Производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.