Метод суммирования Римана

Ме́тод сумми́рования Ри́мана, один из методов суммирования числовых рядов. Ряд ${\displaystyle \displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ суммируется методом Римана к числу ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left[a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{2}\right]=S}$.

Впервые этот метод ввёл и доказал его регулярность Б. Риман (Риман. 1948^[1]) в 1854 г. Метод суммирования Римана применяется в теории тригонометрических рядов, где его обычно формулируют следующим образом: тригонометрический ряд

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$

с ограниченными коэффициентами ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle b_{n}}$ суммируется методом Римана в точке ${\displaystyle x_{0}}$ к числу ${\displaystyle S}$, если функция

${\displaystyle F(x)={\frac {a_{0}x^{2}}{4}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx}{n^{2}}}}$

имеет в точке ${\displaystyle x_{0}}$ производную Римана, равную ${\displaystyle S}$.