Инверсия (в математике)

Инве́рсия в математике, преобразование плоскости, для которого некоторая точка ${\displaystyle O}$, называемая центром инверсии фиксирована и любая точка ${\displaystyle A}$, не совпадающая с ${\displaystyle O}$, переходит в точку ${\displaystyle A^{\prime }}$, лежащую на луче ${\displaystyle OA}$, такую, что произведение длин отрезков ${\displaystyle OA}$ и ${\displaystyle OA^{\prime }}$ равно некоторому числу ${\displaystyle k}$, одному и тому же для любой точки ${\displaystyle A}$ (рис.).

Центр инверсии ${\displaystyle O}$ иногда называют полюсом инверсии, а ${\displaystyle k}$ – степенью или коэффициентом инверсии. Точки окружности ${\displaystyle S}$ с центром ${\displaystyle O}$ и радиусом переходят при инверсии сами в себя; образами внешних по отношению к ${\displaystyle S}$ точек являются внутренние точки, а образами внутренних – внешние; центр инверсии не имеет образа. Иногда инверсия называется симметрией относительно окружности. Рассматривается также инверсия с ${\displaystyle k<0}$. Инверсия с отрицательным коэффициентом ${\displaystyle k}$ равносильна инверсии с тем же центром ${\displaystyle O}$ и положительным коэффициентом ${\displaystyle \mid k\mid }$, сопровождаемой симметрией относительно точки ${\displaystyle O}$. Инверсия с ${\displaystyle k>0}$ называется гиперболической, а с ${\displaystyle k<0}$ – эллиптической инверсией или антиинверсией.

Прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя. Прямая, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность без одной точки. Эта окружность проходит через точку ${\displaystyle O}$, и точка ${\displaystyle O}$ исключается из окружности, обратное также верно. Окружности, ортогональные к окружности с центром ${\displaystyle O}$ и радиусом ${\displaystyle {\sqrt {\mid k\mid }}}$ преобразуются сами в себя. В декартовых прямоугольных координатах инверсия с центром в начале координат может быть задана формулами

${\displaystyle x'={\frac {kx}{x^{2}+y^{2}}},\,\ \ \ \ y'={\frac {ky}{x^{2}+y^{2}}}}$,

или, в плоскости комплексного переменного, формулой ${\displaystyle z\prime =k/{\bar {z}}}$, где черта означает комплексное сопряжение.

Аналогично определяется инверсия относительно сферы в пространстве.

Преобразование инверсии с 1824 г. систематически применял швейцарский математик Я. Штейнер.