Расширенная комплексная плоскость

Расши́ренная компле́ксная пло́скость, плоскость комплексного переменного ${\displaystyle \mathbb {C} }$, компактифицированная посредством добавления бесконечно удалённой точки ${\displaystyle \infty }$ и обозначаемая ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$. Окрестностью ${\displaystyle \infty }$ является внешность любого круга в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$, т. е. множество вида ${\displaystyle \left\{\infty \}\cup \{{z\in \mathbf {C} }:{\mid z-z_{0}\mid >R}\right\}}$, ${\displaystyle R\geqslant 0}$. Расширенная комплексная плоскость есть бикомпактное расширение Александрова плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$, гомеоморфное и конформно эквивалентное сфере Римана. Сферическая, или хордальная, метрика на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}$ даётся формулами

${\displaystyle \rho (z,w)={\frac {2\mid z-w\mid }{{\sqrt {1+\mid z\mid ^{2}}}{\sqrt {1+\mid w\mid ^{2}}}}}\;,\quad z,w\in \mathbb {C} }$,

${\displaystyle \rho (z,\infty )={{\frac {2}{\sqrt {1+\mid z\mid ^{2}}}}\;}}$.