Признаки регулярности методов суммирования

При́знаки регуля́рности ме́тодов сумми́рования, условия регулярности методов суммирования.

Для матричного метода суммирования, определённого преобразованием последовательности в последовательность посредством матрицы ${\displaystyle \Vert a_{nk}\Vert }$, ${\displaystyle n,k=1,2,\ldots }$, условия

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}1)&\ \sum _{k=1}^{\infty }|a_{nk}|\leqslant M,\ 2)&\ \lim _{n\to \infty }a_{nk}=0,\ 3)&\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{\infty }a_{nk}=1\end{aligned}}\quad \right\}}$ (1)

являются необходимыми и достаточными для регулярности метода суммирования. Для матричного метода суммирования, определённого преобразованием ряда в последовательность посредством матрицы ${\displaystyle \Vert g_{nk}\Vert ,n,k=1,2,\ldots }$, необходимыми и достаточными условиями регулярности являются:

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}1)&\ \sum _{k=1}^{\infty }|g_{nk}-g_{n,k-1}|\leqslant M,\ 2)&\ \lim _{n\to \infty }g_{nk}=1.\end{aligned}}\quad \right\}}$ (2)

Условия (1) первоначально были установлены О. Тёплицем (Toeplitz. 1911) для треугольных методов суммирования, а затем Г. Штейнгаузом (Steinhaus. 1911) распространены на произвольные матричные методы суммирования. В связи с этим матрицу, удовлетворяющую условиям (1), называют матрицей Тёплица, или T-матрицей.

Для полунепрерывных методов суммирования, определённых преобразованием последовательности в функцию посредством полунепрерывной матрицы ${\displaystyle \Vert a_{k}(\omega )\Vert }$ или преобразованием ряда в функцию посредством полунепрерывной матрицы ${\displaystyle \Vert g_{k}(\omega )\Vert }$, признаки регулярности подобны соответственно условиям (1) и (2).

Регулярный матричный метод суммирования является вполне регулярным, если все элементы матрицы преобразования неотрицательны. Это условие в общем случае не является необходимым для полной регулярности.