Особая точка кривой

Осо́бая то́чка кри́вой, заданной уравнением ${\displaystyle F(x,y)=0}$, точка ${\displaystyle M_{0}(x_{0},y_{0})}$, в которой обе частные производные функции ${\displaystyle F(x,y)}$ обращаются в нуль:

${\displaystyle \left({\dfrac {\partial F}{\partial x}}\right)_{0}=0,\quad \left({\dfrac {\partial F}{\partial y}}\right)_{0}=0}$.

Если при этом не все вторые частные производные функции ${\displaystyle F(x,y)}$ в точке ${\displaystyle M_{0}}$ равны нулю, то особая точка называется двойной. Если наряду с обращением в нуль первых производных в точке ${\displaystyle M_{0}}$ обращаются в нуль и все вторые производные, но не все третьи производные равны нулю и т. д., то особая точка называется тройной, ${\displaystyle \ldots ,n}$-кратной. При исследовании строения кривой вблизи двойной особой точки важную роль играет знак выражения

${\displaystyle \displaystyle \Delta =\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}\right)_{0}\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}\right)_{0}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}\right)_{0}^{2}}$.

Если ${\displaystyle \Delta >0}$, то особая точка является изолированной; например, у кривой ${\displaystyle y^{2}-x^{4}+4x^{2}=0}$ начало координат есть изолированная особая точка (рис. 1). Если ${\displaystyle \Delta <0}$, то особая точка называется узловой или точкой самопересечения; например, у кривой ${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+a^{2})^{2}-4a^{2}x^{2}-a^{4}=0}$ начало координат есть узловая особая точка (рис. 2). Если ${\displaystyle \Delta =0}$, то особая точка является либо изолированной, либо характеризуется тем, что

различные ветви кривой имеют в этой точке общую касательную, например: а) точка возврата (точка заострения) 1-го рода – различные ветви кривой расположены по разные стороны от общей касательной и образуют остриё, как у кривой ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0}$ (рис. 3, а); б) точка возврата (точка заострения) 2-го рода – различные ветви кривой расположены по одну сторону от общей касательной, как у кривой ${\displaystyle (y-x^{2})^{2}-x^{5}=0}$ (рис. 3, б); в) точка самоприкосновения (для кривой ${\displaystyle y^{2}-x^{4}=0}$ начало координат является точкой самоприкосновения; рис. 3, в). Наряду с указанными особыми точками, имеется много других особых точек со специальными названиями; например, асимптотическая точка – вершина спирали с бесконечным числом витков (рис. 4), точка прекращения (рис. 5), угловая точка (точка излома) (рис. 6) и т. д.

Рис. 1. Рис. 2. Особая точка кривой.

Литература

[править | править код]

• Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей : учебное пособие для вузов / В. А. Топоногов. – Москва : Физматкнига, 2012.