Обратная теорема

Обра́тная теоре́ма, теорема, условием которой служит заключение исходной (прямой) теоремы, а заключение – условием. Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Таким образом, прямая и обратная теоремы взаимно обратны. Например, теоремы «если два угла треугольника равны, то их биссектрисы равны» и «если две биссектрисы треугольника равны, то соответствующие им углы равны» являются обратными друг другу. Из справедливости какой-либо теоремы, вообще говоря, не следует справедливость обратной к ней теоремы. Например, теорема «если число делится на ${\displaystyle 6}$, то оно делится и на ${\displaystyle 3}$» верна, а обратная теорема «если число делится на ${\displaystyle 3}$, то оно делится и на ${\displaystyle 6}$» неверна. Даже если обратная теорема верна, для её доказательства могут оказаться недостаточными средства, используемые при доказательстве прямой теоремы. Например, в евклидовой геометрии верны как теорема «две прямые, имеющие общий перпендикуляр, не пересекаются», так и обратная к ней теорема «две непересекающиеся прямые на плоскости имеют общий перпендикуляр». Однако вторая (обратная) теорема основывается на евклидовой аксиоме о параллельных, тогда как для доказательства первой эта аксиома не нужна. В геометрии Лобачевского вторая теорема просто неверна, тогда как первая остаётся в силе. Обратная теорема равносильна теореме, противоположной к прямой, т. е. теореме, в которой условие и заключение прямой теоремы заменены их отрицаниями. Поэтому прямая теорема равносильна теореме, противоположной к обратной, т. е. теореме, утверждающей, что если неверно заключение первой теоремы, то неверно и её условие. Известный способ «доказательства от противного» как раз представляет собой замену доказательства прямой теоремы доказательством теоремы, противоположной к обратной. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).