Неперово число

Не́перово число́ (число ${\displaystyle e}$), предел, к которому стремятся числа ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ при неограниченном возрастании ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle e=\lim \limits _{n->\infty }{\biggl (}{1+{\frac {1}{n}}}{\biggr )}^{n}=2,718\;281\;828\;459\;045\;\dots }$;

является основанием натуральных логарифмов. Существование этого предела установлено Д. Бернулли (1728), обозначение ${\displaystyle e}$ предложено Л. Эйлером (1736), трансцендентность числа ${\displaystyle e}$ установлена Ш. Эрмитом (1873). Название числа ${\displaystyle e}$ по имени Дж. Непера малообоснованно, поскольку он использовал основание логарифмов, которое отличалось от этого числа.

Функция ${\displaystyle e^{x},\,-\infty <x<\infty }$, бесконечно дифференцируема, все её производные совпадают с ${\displaystyle e^{x}}$. Для любого действительного ${\displaystyle x}$ справедливо равенство ${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{x}e^{u}du=e^{x}}$.