Квантор

Ква́нтор, общее название логических операций, которые по предикату ${\displaystyle P(x)}$ строят высказывание, дающее ту или иную характеристику области истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$. Наиболее употребительны квантор всеобщности ${\displaystyle \forall x}$ («для всех ${\displaystyle x}$») и квантор существования ${\displaystyle \exists x}$ («для некоторых ${\displaystyle x}$»). Высказывание ${\displaystyle \forall xP(x)}$ означает, что область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$ совпадает с областью значений переменной ${\displaystyle x}$. Высказывание ${\displaystyle \exists xP(x)}$ означает, что область истинности предиката ${\displaystyle P(x)}$ непуста. Если интересуются поведением предиката ${\displaystyle P(x)}$ не на всей области значений переменной ${\displaystyle x}$, а лишь на её части, выделяемой предикатом ${\displaystyle R(x)}$, то часто употребляют т. н. ограниченные кванторы ${\displaystyle (\exists x)_{R(x)}}$ и ${\displaystyle (\forall x)_{R(x)}}$. При этом высказывание ${\displaystyle (\exists x)_{R(x)}P(x)}$ означает то же, что ${\displaystyle \exists x(R(x)\&P(x))}$, а ${\displaystyle (\forall x)_{R(x)}P(x)}$ – то же, что ${\displaystyle \forall x((Rx)\supset P(x))}$, где ${\displaystyle \&amp}$; – знак конъюнкции, ${\displaystyle \supset }$ – знак импликации. Ещё одним примером квантора является квантор единственности, обозначаемый ${\displaystyle \exists !x}$ («для одного и только одного ${\displaystyle x}$»). Высказывание ${\displaystyle \exists !xP(x)}$ означает, что в области значений переменной ${\displaystyle x}$ имеется единственный объект, удовлетворяющий предикату ${\displaystyle P(x)}$. Квантор единственности выражается через другие логические операции и отношение равенства. Так, высказывание ${\displaystyle \exists !xP(x)}$эквивалентно высказыванию ${\displaystyle \exists x(P(x)\&\forall yP(y)\supset x=y)}$.

Термин «квантор» ввёл Ч. Пирс (1885).