Многообразие колец

Многообра́зие коле́ц, класс колец ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$, удовлетворяющих заданной системе полиномиальных тождеств. Многообразие колец можно определить аксиоматически, как наследственный класс алгебр, замкнутый относительно взятия гомоморфных образов и полных прямых сумм (см. Многообразие алгебраических систем). Так как совокупность полиномиальных тождеств, выполнимых в данном кольце, образует вполне характеристический идеал (${\displaystyle T}$-идеал) свободного кольца, то существует взаимно однозначное соответствие между многообразиями колец и ${\displaystyle T}$-идеалами счётно порождённого свободного кольца. Если для многообразия колец имеет место включение ${\displaystyle {\mathfrak {R}}\subseteq {\mathfrak {M}}}$, то говорят, что ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$ является подмногообразием в ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$. Многообразие, соответствующее ${\displaystyle T}$-идеалу тождеств кольца ${\displaystyle A}$, называется многообразием, порождённым кольцом ${\displaystyle A}$. Каждое многообразие колец порождается своим «универсальным объектом» – свободным кольцом данного многообразия, которое обладает свободной системой образующих: всякое отображение множества свободных образующих в произвольное кольцо из многообразия продолжается до гомоморфизма.

Пусть ${\displaystyle M_{n}}$ – многообразие, порождённое алгеброй квадратных матриц порядка ${\displaystyle n}$. Для всякого многообразия ассоциативных колец нулевой характеристики (т. е. колец, аддитивная группа которых без кручения) существует такое натуральное число ${\displaystyle n=n({\mathfrak {M}})}$, что ${\displaystyle M_{n}\subseteq {\mathfrak {M}}}$, но ${\displaystyle M_{n+1}\not \subseteq {\mathfrak {M}}}$. Многообразие колец называется шпехтовым, если всякое его кольцо обладает конечным базисом тождеств. Многообразие, порождённое конечным ассоциативным кольцом или конечным кольцом Ли, является шпехтовым. Вопрос о том, всякое ли многообразие ассоциативных алгебр шпехтово, составляет содержание проблемы Шпехта. Если многообразие ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ порождено ассоциативной алгеброй с конечным числом образующих над полем нулевой характеристики и ${\displaystyle M_{2}\not \subseteq {\mathfrak {M}}}$, то ${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$ шпехтово.

См. также PI-алгебра.