Метод Остроградского

Ме́тод Острогра́дского, метод выделения рациональной части неопределённого интеграла

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx}$,

где ${\displaystyle Q(x)}$ – многочлен степени ${\displaystyle n}$, имеющий кратные корни, а ${\displaystyle P(x)}$ – многочлен степени ${\displaystyle m\leq n-1}$. Метод Остроградского позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного ${\displaystyle x}$, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx={\frac {P_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+\int {\frac {P_{2}(x)}{Q_{2}(x)}}\,dx,}$ (*)

где ${\displaystyle Q_{1}}$, ${\displaystyle Q_{2}}$, ${\displaystyle P_{1}}$, ${\displaystyle P_{2}}$ – многочлены степеней соответственно ${\displaystyle n_{1}}$, ${\displaystyle n_{2}}$, ${\displaystyle m_{1}}$, ${\displaystyle m_{2}}$, причём ${\displaystyle n_{1}+n_{2}=n}$, ${\displaystyle m_{1}\leq n_{1}-1}$, ${\displaystyle m_{2}\leq n_{2}-1}$ и многочлен ${\displaystyle Q_{2}(x)}$ не имеет кратных корней. Многочлен ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ является наибольшим общим делителем многочленов ${\displaystyle Q(x)}$ и ${\displaystyle Q'(x)}$, поэтому явное выражение ${\displaystyle Q_{1}(x)}$ можно найти, например, с помощью алгоритма Евклида. Дифференцируя левую и правую части ${\displaystyle (*)}$, получают тождество

${\displaystyle Q_{2}(x)P'_{1}(x)-P_{1}(x){\frac {Q_{2}(x)Q'_{1}(x)}{Q_{1}(x)}}+P_{2}(x)Q_{1}(x)=P(x)}$,

которое позволяет найти явные выражения многочленов ${\displaystyle P_{1}(x)}$, ${\displaystyle P_{2}(x)}$ методом неопределённых коэффициентов.

Метод Остроградского впервые предложен М. В. Остроградским (1844).