Повторный интеграл

Повто́рный интегра́л, понятие интегрального исчисления. Вычисление двойного интеграла

${\displaystyle I=\iint \limits _{S}(fx,y)dxdy}$

от функции ${\displaystyle f(x,y)}$ по области ${\displaystyle S}$, ограниченной прямыми ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle x=b}$ и кривыми ${\displaystyle y=\phi _{1}(x)}$, ${\displaystyle y=\phi _{2}(x)}$, при некоторых условиях относительно функций ${\displaystyle f(x,y),\phi _{1}(x),\phi _{2}(x)}$ можно проводить по формуле

${\displaystyle I=\int \limits _{a}^{b}\left(\int \limits _{\phi _{1}(x)}^{\phi _{2}(x)}f(x,y)dy\right)dx,}$

где при вычислении внутреннего интеграла ${\displaystyle x}$ считается постоянным. Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух обычных интегралов или, как говорят, к повторному интегралу. При некоторых условиях на функцию ${\displaystyle f(x,y)}$ и область ${\displaystyle S}$ в повторном интеграле можно изменять порядок интегрирования (т. е. интегрировать сначала по ${\displaystyle x}$, а затем по ${\displaystyle y}$). Аналогично определяется повторный интеграл в случае функций большего числа переменных.