Корень из единицы

Ко́рень из едини́цы степени ${\displaystyle n}$ (или ${\displaystyle n}$-й степени) в ассоциативном коммутативном кольце с единицей ${\displaystyle R,}$ элемент ${\displaystyle w\in R,}$ удовлетворяющий условию ${\displaystyle w^{n}=1,}$ где через ${\displaystyle 1}$ обозначен нейтральный элемент (единица) мультипликативной операции в ${\displaystyle R,}$ ${\displaystyle n}$ – натуральное число.

Для любого ${\displaystyle n\geq 1}$ множество корней из ${\displaystyle 1}$ степени ${\displaystyle n}$ замкнуто в ${\displaystyle R}$ относительно операций умножения и взятия обратного элемента и содержит ${\displaystyle 1,}$ потому образует группу по умножению. Если ${\displaystyle R}$ является полем, то эта группа а) содержит не более ${\displaystyle n}$ элементов и б) является циклической. Для кольца с единицей утверждения а) и б) неверны (см. пример 1).

Пример 1. В кольце вычетов по модулю ${\displaystyle 8}$ имеется четыре корня из ${\displaystyle 1}$ степени ${\displaystyle 2:}$ вычеты чисел ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle 3,}$ ${\displaystyle 5}$ и ${\displaystyle 7}$. Ни один из этих вычетов не порождает мультипликативную группу корней из ${\displaystyle 1}$ степени ${\displaystyle 2}$ в факторкольце ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} }$.

Пример 2. В поле вычетов по простому модулю ${\displaystyle p}$ множество корней степени ${\displaystyle p-1}$ из ${\displaystyle 1}$ совпадает с множеством ненулевых элементов поля и является циклической группой по умножению порядка ${\displaystyle p-1}$.

Пример 3. В поле комплексных чисел для любого ${\displaystyle n\geq 1}$ существует ровно ${\displaystyle n}$ корней из ${\displaystyle 1}$ степени ${\displaystyle n,}$ задающихся формулой

${\displaystyle w=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},}$

где ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots ,n-1}$ и ${\displaystyle i}$ – мнимая единица.

Корень ${\displaystyle w}$ из ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$-й степени в поле или кольце ${\displaystyle R}$ является параметром конструкции, называемой дискретное преобразование Фурье и применяемой к элементам ${\displaystyle R^{n}}$. Это преобразование будет обратимым, если ${\displaystyle w}$ будет т. н. первообразным корнем из единицы степени ${\displaystyle n}$. Это понятие не следует путать с понятием «первообразный корень по модулю ${\displaystyle m}$».