Проблема континуума

Пробле́ма конти́нуума, задача, состоящая в том, чтобы доказать или опровергнуть средствами теории множеств следующее утверждение, называемое континуум-гипотезой, которое можно сформулировать следующим образом: мощность континуума есть первая мощность, превосходящая мощность множества всех натуральных чисел. Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого множества ${\displaystyle P}$ первая мощность, превосходящая мощность этого множества, есть мощность множества всех подмножеств множества ${\displaystyle P}$.

Континуум-гипотеза была высказана Г. Кантором в конце 1870-х гг. Многочисленные попытки её доказательства, предпринятые самим Кантором и другими математиками в конце 19 – начале 20 вв., оказались безуспешными, что привело ряд учёных (французский математик Р. Бэр, А. Лебег, Н. Н. Лузин и др.) к убеждению, что проблема континуума не может быть решена традиционными средствами теории множеств. Это убеждение было подтверждено методами математической логики и аксиоматической теории множеств. В 1936 г. К. Гёдель доказал, что обобщённая континуум-гипотеза совместна с одной естественной системой аксиоматической теории множеств и, следовательно, не может быть опровергнута традиционными средствами. В 1963 г. П. Коэн доказал, что отрицание континуум-гипотезы совместно с этой системой, так что континуум-гипотезу невозможно ни доказать, ни опровергнуть с помощью обычных методов теории множеств. Последователи Коэна затем получили ряд результатов о роли континуум-гипотезы и обобщённой континуум-гипотезы и их связи с другими теоретико-множественными принципами.