Квадратурная формула Гаусса

Квадрату́рная фо́рмула Га́усса, квадратурная формула вида

${\displaystyle \int _{a}^{b}p(x)f(x)dx\approx \sum _{i=1}^{n}c_{i}f\left(x_{i}\right)}$,

в которой узлы ${\displaystyle x_{i}}$ и веса ${\displaystyle c_{i}}$ подбираются так, чтобы формула была точна для функций

${\displaystyle \sum _{k=0}^{2n-1}a_{k}\omega _{k}(x)}$,

где ${\displaystyle \omega _{k}(x)}$ – заданные линейно независимые функции (пределы интегрирования могут быть и бесконечными). Квадратурные формулы Гаусса введены К. Ф. Гауссом (^[1]) для ${\displaystyle a=-1}$, ${\displaystyle b=1}$, ${\displaystyle p(x)\equiv 1}$. Полученная им общая формула, точная для произвольного многочлена степени не выше ${\displaystyle 2n-1}$, имеет вид

${\displaystyle \int _{-1}^{1}f(x)dx=A_{1}^{(n)}f\left(x_{1}\right)+A_{2}^{(n)}f\left(x_{2}\right)+\ldots +A_{n}^{(n)}f\left(x_{n}\right)+R_{n}}$,

где ${\displaystyle x_{k}}$ – корни многочлена Лежандра ${\displaystyle P_{n}(x)}$, а ${\displaystyle A_{k}^{(n)}}$ и ${\displaystyle R_{n}}$ определяются по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{k}^{(n)}={\frac {2}{\left(1-x_{k}^{2}\right)\left[P_{n}^{\prime }\left(x_{k}\right)\right]^{2}}};\\R_{n}={\frac {2^{2n+1}[n!]^{4}}{(2n+1)[(2n)!]^{3}}}f^{(2n)}(c),\quad -1<c<1.\end{aligned}}}$

Применяется в тех случаях, когда подынтегральная функция достаточно гладкая, а выигрыш в числе узлов крайне существен: например, если ${\displaystyle f(x)}$ определяется из дорогостоящих экспериментов или при вычислении кратных интегралов как повторных. При практическом применении в таких случаях очень важен удачный подбор весовой функции ${\displaystyle p(x)}$ и функций ${\displaystyle \omega _{j}(x)}$.

Для широких классов ${\displaystyle p(x)}$ и ${\displaystyle \omega _{j}(x)}$ составлены таблицы узлов квадратурных формул Гаусса (Gauss. 1866), в частности в (^[2]) при ${\displaystyle p(x)\equiv 1}$, ${\displaystyle \omega _{j}(x)=x^{j}}$ до ${\displaystyle n=512}$.

При ${\displaystyle p(x)\equiv 1}$, ${\displaystyle \omega _{j}(x)=x^{j}}$ квадратурная формула Гаусса применяется в стандартных программах интегрирования с автоматическим выбором шага как метод вычисления интегралов по подотрезкам разбиения (^[3]).