Интеграл по траекториям

Интегра́л по траекто́риям, континуальный интеграл, функциональный интеграл, – интеграл, областью интегрирования которого служит то или иное функциональное пространство. Чаще всего интеграл по траекториям определяется как обычный интеграл Лебега от функционала, заданного на пространстве функций (возможно, обобщённых) по некоторой мере (быть может, комплексной) в этом пространстве. В тех случаях, когда лебеговская конструкция интеграла оказывается неприменимой, рассматриваются и другие способы континуального интегрирования. Например, вместо мер используются предмеры (или квазимеры), т. е. аддитивные функции множества, определённые на алгебре всех цилиндрических подмножеств функционального пространства и такие, что их сужения на любую ${\displaystyle \sigma }$-подалгебру цилиндрических множеств с фиксированным носителем являются уже мерами. Иногда интеграл по траекториям определяется как предел при ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle n}$-кратных интегралов (вычисляемых по мере Лебега в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$), возникающих при подходящей аппроксимации пространства функций (области интегрирования) ${\displaystyle n}$-мерным пространством, а интегрируемого функционала – функцией от ${\displaystyle n}$ переменных. Эти и другие определения интеграла по траекториям применимы каждое к своему специальному классу функционалов, причём в тех случаях, когда эти определения пригодны одновременно, они могут, вообще говоря, приводить к различным значениям интеграла. Наконец, интегралы по траекториям, встречающиеся в литературе по физике, подчас вообще не имеют точного смысла, а рассматриваются как формальные выражения, с которыми оперируют как с обычными интегралами (замена переменных, мажорирование, дифференцирование по параметру, предельный переход и т. д.), часто, однако, получая при этом серьёзные и эвристически ценные результаты.

Интегралы по траекториям, появившиеся первоначально в теории случайных процессов, позднее были использованы для представления группы

${\displaystyle \exp\{itH\},\quad t\in \mathbb {R} ^{1}}$,

а также полугруппы операторов

${\displaystyle \exp\{-tH\},\quad t>0}$,

где ${\displaystyle H}$ – оператор Штурма – Лиувилля в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (оператор энергии для системы квантовых частиц). Подобные представления были получены затем для более широкого класса операторов ${\displaystyle H}$ (всякое такое представление обычно называется формулой Фейнмана – Каца) и явились удобным средством для изучения свойств этих операторов (оценка границ спектра, асимптотика собственных значений, свойства рассеяния и т. д.).

Среди применений интеграла по траекториям в математической физике (основанных главным образом на формуле Фейнмана – Каца) наиболее глубоким оказалось их использование в проблемах квантовой статистической физики и квантовой теории поля. С интегралами по траекториям связано отчасти и развитие общих вопросов теории меры и интегрирования в бесконечномерных пространствах.