Интеграл Дирихле

Интегра́л Дирихле́, общее название интегралов нескольких типов.

Интеграл

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {\sin \alpha x}{x}}\cos \beta x\,dx}=\left\{{\begin{array}{ll}\pi /2\,\,{\textsf {\text{при}}}\,\beta <\alpha {\textrm {,}}\\\pi /4\,\,{\textsf {\text{при}}}\,\beta =\alpha \\0\,\,{\textsf {\text{при}}}\,\beta >\alpha {\textrm {}}\end{array}}\right.}$ (1)

называется интегралом Дирихле, а также разрывным множителем Дирихле. Он является разрывной функцией от параметров ${\displaystyle \alpha >0}$ и ${\displaystyle \beta >0}$. П. Дирихле использовал интеграл ${\displaystyle (1)}$ в исследованиях о притяжении эллипсоидов (1839). Этот интеграл встречался ранее у Ж. Фурье, С. Пуассона и А.-М. Лежандра.

Интеграл

${\displaystyle s_{n}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{f(x+t)D_{n}(t)\,dt}}$,

где

${\displaystyle D_{n}(t)={\frac {\sin(n+1/2)t}{2\sin t/2}}}$,

есть т. н. ядро Дирихле, также называется интегралом Дирихле, он равен ${\displaystyle n}$-й частичной сумме ряда Фурье функции ${\displaystyle f}$, т. е.

${\displaystyle s_{n}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \nolimits _{k=1}^{n}(a_{k}\cos kx+b_{k}\sin kx)}$,

где ${\displaystyle a_{k},b_{k}}$, ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$ – коэффициенты Фурье функции ${\displaystyle f}$. Эта формула является одной из важнейших формул теории рядов Фурье; в частности, она позволила П. Дирихле установить, что ряд Фурье функции, имеющей конечное число максимумов и минимумов, сходится в каждой точке (1829).

Интеграл

${\displaystyle \iiint _{G}{\Biggl (}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}{\Biggr )}\,dx\,dy\,dz}$ (2)

также называется интегралом Дирихле. Он используется в теории гармонических функций в т. н. принципе Дирихле, который состоит в том, что при достаточно широких условиях среди всех функций ${\displaystyle u}$, принимающих заданное значение на границе области ${\displaystyle G}$, функция, для которой интеграл ${\displaystyle (2)}$ достигает наименьшего значения, является гармонической в этой области.