Интегральный логарифм

Интегра́льный логари́фм, специальная функция, определяемая для ${\displaystyle x>0}$, ${\displaystyle x\neq 1}$ равенством

${\displaystyle {\text{li}}\,(x)=\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{{\text{ln}}\ t}}}$,

при этом для ${\displaystyle x>1}$ интеграл понимается в смысле главного значения, т. е.

${\displaystyle {\text{li}}\,(x)=\lim _{\begin{smallmatrix}\epsilon \to 0\\\epsilon >0\end{smallmatrix}}\;\left(\int \limits _{0}^{1-\epsilon }{\frac {dt}{{\text{ln}}\,t}}+\int \limits _{1+\epsilon }^{x}{\frac {dt}{{\text{ln}}\,t}}\right)}$.

Интегральный логарифм в конечном виде через элементарные функции не выражается.

Функция ${\displaystyle {\text{li}}\,(x)}$ связана с интегральной показательной функцией ${\displaystyle {\text{Ei}}\,(x)}$ соотношением ${\displaystyle {\text{li}}\,(x)={\text{Ei}}\,({\ln }x)}$. Введена Л. Эйлером (1768).

При ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ функция ${\displaystyle {\text{li}}\,(x)}$ растёт как ${\displaystyle x/\ln x}$. Интегральный логарифм играет важную роль в теории чисел, число простых чисел, не превосходящих ${\displaystyle x}$, асимптотически равно ${\displaystyle {\text{li}}\,(x)}$.