Свёртка тензора

Свёртка те́нзора, операция тензорной алгебры, ставящая в соответствие тензору ${\displaystyle a_{j_{1}\ldots j_{q}}^{i_{1}\ldots i_{p}}}$, ${\displaystyle p\geqslant 1}$, ${\displaystyle q\geqslant 1}$, тензор

${\displaystyle b_{j_{1}\ldots j_{q-1}}^{i_{2}\ldots i_{p}}=a_{j_{1}\ldots j_{q-1}1}^{1i_{2}\ldots i_{p}}+a_{j_{1}\ldots j_{q-1}2}^{2i_{2}\ldots i_{p}}+\ldots +a_{j_{1}\ldots j_{q-1}n}^{ni_{2}\ldots i_{p}}=a_{j_{1}\ldots j_{q-1}\alpha }^{\alpha i_{2}\ldots i_{p}}}$

(здесь свёртка производится по паре индексов ${\displaystyle i_{1},j_{q}}$). Аналогично определяется свёртка тензора по любой паре верхнего и нижнего индексов. ${\displaystyle p}$-кратная свёртка тензоров, ${\displaystyle p}$ раз ковариантного и ${\displaystyle p}$ раз контравариантного, является инвариантом. Так, свёртка тензора ${\displaystyle a_{j}^{i}}$ есть инвариант ${\displaystyle a_{i}^{i}}$, называемый следом тензора ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Sp} } (a_{j}^{i})}$, или ${\displaystyle \mathop {\mathrm {tr} } a_{j}^{i}}$. Свёрткой произведения двух тензоров называется свёртка их произведения по верхнему индексу одного сомножителя и нижнему индексу другого.