Задача Штурма – Лиувилля

Зада́ча Шту́рма – Лиуви́лля, задача о нахождении отличных от нуля решений дифференциального уравнения

${\displaystyle -[p(x)y']'+q(x)y=\lambda y}$,

удовлетворяющих граничным условиям вида

${\displaystyle A_{1}y(a)+B_{1}y'(a)=0,}$
${\displaystyle A_{2}y(b)+B_{2}y'(b)=0}$

(т. н. собственных функций), а также значений параметра ${\displaystyle \lambda }$ (т. н. собственных значений), при которых существуют такие решения. При некоторых условиях на коэффициенты ${\displaystyle p(x)}$, ${\displaystyle q(x)}$ задачу Штурма – Лиувилля можно свести к рассмотрению аналогичной задачи для уравнения вида

${\displaystyle -y''+q(x)y=\lambda y}$.

Была впервые (1837–1841) исследована Ж. Лиувиллем и Ш. Штурмом.

К задаче Штурма – Лиувилля приводит решение некоторых задач математической физики методом Фурье. Задача Штурма – Лиувилля возникает также в некоторых проблемах квантовой механики и в вариационном исчислении.