Метод Фурье

Ме́тод Фурье́ (метод разделения переменных), метод решения задач математической физики, основанный на разделении переменных. Предложен для решения задач теории теплопроводности в начале 19 в. Ж. Фурье и в полной общности сформулирован М. В. Остроградским (1828). Решение уравнения, удовлетворяющее данным начальным и краевым условиям, ищется как суперпозиция (композиция) решений, удовлетворяющих краевым условиям и представимых в виде произведения функции от пространственных переменных на функцию от времени. Нахождение таких решений связано с разысканием т. н. собственных функций и собственных значений некоторых дифференциальных операторов и последующим разложением функций начальных условий по собственным функциям. Метод Фурье можно использовать, в частности, для изучения задач о колебании струны и о теплопроводности стержня. Например, изучение малых колебаний струны длины ${\displaystyle l}$, имеющей закреплённые концы, сводится к решению уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

при краевых условиях ${\displaystyle u(0,t)=u(l,t)=0}$ и начальных условиях ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$, ${\displaystyle u'(x,0)=F(x)}$, ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant l}$. Решения этого уравнения, имеющие вид ${\displaystyle X(x)T(t)}$ и удовлетворяющие краевым условиям, выражаются формулой

${\displaystyle \sin {\frac {\pi nx}{l}}\left(A_{n}\cos {\frac {a\pi nt}{l}}+B_{n}\sin {\frac {a\pi nt}{l}}\right)}$.

Выбором коэффициентов ${\displaystyle A_{n}}$, ${\displaystyle B_{n}}$ можно добиться того, что функция

${\displaystyle u(x,t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sin {\frac {\pi nx}{l}}\left(A_{n}\cos {\frac {a\pi nt}{l}}+B_{n}\sin {\frac {a\pi nt}{l}}\right)}$

будет решением поставленной задачи.

Ряд важных проблем, связанных с методом Фурье, был решён В. А. Стекловым.