Задача Стефана

Зада́ча Сте́фана, задача, возникающая при исследовании физических процессов, связанных с фазовым превращением вещества. Простейшая двухфазная задача Стефана в теплофизических терминах формулируется следующим образом (Stefan. 1889^[1]; Тихонов. 1972^[2]): найти распределение температуры $u(x,t)$ и закон движения границы раздела фаз $\xi =\xi (t)$ (например, границы «лёд – вода» внутри замерзающей воды) из уравнения теплопроводности:

c_{1}\rho _{1}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\ k_{1}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{при}}\quad 0<x<\xi (t),\quad t>0

,

c_{2}\rho _{2}{\frac {\partial u}{\partial t}}=k_{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\quad {\text{при}}\quad \xi (t)<x<+\infty ,\quad t>0

,

граничного условия

u(0,t)=u_{1}={\textrm {const}}<T,\quad t>0

,

начального условия

u(x,0)=u_{2}={\textrm {const}}>T,\quad x\geqslant 0

,

и условия на границе замерзания

u(\xi (t)-0,t)=u(\xi (t)+0,t),\quad t>0

,

\lambda \rho _{1}{\frac {d\xi (t)}{dt}}=k_{1}{\frac {\partial u(\xi (t)-0,t)}{\partial x}}-k_{2}{\frac {\partial u(\xi (t)+0,t)}{\partial x}}

,

t>0,\quad \xi (0)=0

,

где $k_{1}$ и $k_{2}$ – коэффициенты теплопроводности, $c_{1}$ и $c_{2}$ – удельные теплоёмкости, $\rho _{1}$ и $\rho _{2}$ – плотности соответственно твёрдой и жидкой фаз, $\lambda$ – скрытая теплота плавления, отнесённая к единице массы, $T$ – температура замерзания. Эта задача имеет автомодельное решение $u=u(xt^{-{^{1}}\!/\!{_{2}}})$ , $\xi (t)=\alpha t^{^{1\!}/\!{_{2}}}$ , $\alpha ={\textrm {const}}>0$ .

Достаточно общая постановка задачи Стефана в пространственно трёхмерном случае сводится к краевой задаче для квазилинейного параболического уравнения $2$ -го порядка с кусочно непрерывными коэффициентами, терпящимиразрывы $1$ -го рода на заранее неизвестных и подлежащих определению поверхностях, на которых задаётся значение искомой функции и, кроме того, удовлетворяющих дифференциальному условию Стефана. Исследовались (см. Олейник. 1960; Будак. 1969; Будак. 1970; Будак. 1965^[3]) существование и единственность классического и обобщённого решений задачи Стефана; о методах приближённого решения задачи Стефана см. (Тихонов. 1972; Будак. 1969; Будак. 1965^[4]).

Такого типа задачу одним из первых исследовал Й. Стефан (Stefan. 1889).

↑ Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung / Josef Stefan // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. – 1889. – Bd. 98. – S. 473–484.
↑ Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : [учебное пособие для университетов] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 4-е изд., испр. – Москва : Наука, 1972.
↑ Будак Б. М. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б. М. Будак, Ф. П. Васильев, А. Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике / [под ред. Б. М. Павлова и др.]. – Москва : Издательство Московского университета, 1965. – С. 139–183.
↑ Будак Б. М. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б. М. Будак, Ф. П. Васильев, А. Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике / [под ред. Б. М. Павлова и др.]. – Москва : Издательство Московского университета, 1965. – С. 139–183.

Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. – 1889. – Bd. 98. – S. 473–484.
Олейник О. А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады Академии наук СССР. – 1960. – Т. 135, № 5. – С. 1054–1057.
Будак Б. М. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б. М. Будак, Ф. П. Васильев, А. Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике / [под ред. Б. М. Павлова и др.]. – Москва : Издательство Московского университета, 1965. – С. 139–183. – (Сборник работ Вычислительного центра МГУ ; 4).
Будак Б. М. Разностный метод с выпрямлением фронтов для решения задач типа Стефана / Б. М. Будак, А. Б. Успенский // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1969. – Т. 9, № 6. – C. 1299–1315.
Будак Б. М. О классическом решении многомерной многофазной задачи типа Стефана в области с кусочно-гладкой границей / Б. М. Будак, М. З. Москал // Доклады Академии наук. – 1970. – Т. 191, № 4. – С. 751–754.
Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : [учебное пособие для университетов] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 4-е изд., испр. – Москва : Наука, 1972.

[1] Stefan J. Über einige Probleme der Theorie der Wärmeleitung / Josef Stefan // Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. – 1889. – Bd. 98. – S. 473–484.

[2] Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : [учебное пособие для университетов] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – 4-е изд., испр. – Москва : Наука, 1972.

[3] Будак Б. М. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б. М. Будак, Ф. П. Васильев, А. Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике / [под ред. Б. М. Павлова и др.]. – Москва : Издательство Московского университета, 1965. – С. 139–183.

[4] Будак Б. М. Разностный метод решения некоторых краевых задач типа Стефана / Б. М. Будак, Ф. П. Васильев, А. Б. Успенский // Численные методы в газовой динамике / [под ред. Б. М. Павлова и др.]. – Москва : Издательство Московского университета, 1965. – С. 139–183.

[1]

[2]

[3]

[4]

Задача Стефана

Примечания

Литература