Декартов овал

Дека́ртов ова́л, плоская кривая, расстояния ${\displaystyle r_{1}}$ и ${\displaystyle r_{2}}$ каждой точки ${\displaystyle P}$ которой до двух фиксированных точек ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ (фокусов) связаны неоднородным линейным уравнением

${\displaystyle r_{1}+mr_{2}=a}$.

Декартов овал можно определить при помощи однородного линейного уравнения

${\displaystyle r_{1}+mr_{2}+nr_{3}=0}$,

где ${\displaystyle r_{3}}$ – расстояние до третьего фокуса ${\displaystyle F_{3}}$, лежащего на прямой ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$. Декартов овал в общем случае состоит из двух замкнутых линий, одна из которых объемлет другую (см. рис.). В прямоугольных декартовых координатах уравнение декартова овала имеет вид

${\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+m{\sqrt {(x-d)^{2}+y^{2}}}=a}$,

где ${\displaystyle d}$ – длина отрезка ${\displaystyle F_{1}F_{2}}$. При ${\displaystyle m=1}$ и ${\displaystyle a>d}$ декартов овал представляет собой эллипс, при ${\displaystyle m=-1}$ и ${\displaystyle a<d}$ – гиперболу и, если ${\displaystyle m=a/d}$, – улитку Паскаля. Впервые декартов овал исследован Р. Декартом в связи с задачами оптики (см. ^[1]).