Гипергеометрический ряд

Гипергеометри́ческий ряд (ряд Гаусса), ряд вида

${\displaystyle \displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha (\alpha +1)\ldots (\alpha +n-1)\beta (\beta +1)\ldots (\beta +n-1)}{n!\gamma (\gamma +1)\ldots (\gamma +n-1)}}z^{n}.}$ (*)

Гипергеометрический ряд имеет смысл, если ${\displaystyle \gamma }$ не равно нулю или целому отрицательному числу; он сходится при ${\displaystyle |z|<1}$. Если, кроме того, ${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma -\alpha -\beta )>0}$, то гипергеометрический ряд сходится и при ${\displaystyle z=1}$. В этом случае справедлива формула Гаусса

${\displaystyle \displaystyle F(\alpha ,\beta ;\gamma ;1)={\frac {\Gamma (\gamma )\Gamma (\gamma -\alpha -\beta )}{\Gamma (\gamma -\alpha )\Gamma (\gamma -\beta )}},}$

где ${\displaystyle \Gamma (z)}$ – гамма-функция. Аналитическая функция, определяемая с помощью гипергеометрического ряда, называется гипергеометрической функцией.

Обобщённым гипергеометрическим рядом называется ряд вида

${\displaystyle \displaystyle {}_{p}F_{q}\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{p};\gamma _{1},\gamma _{2},\ldots ,\gamma _{q};z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}{\frac {\left(\alpha _{1}\right)_{n}\left(\alpha _{2}\right)_{n}\cdots \left(\alpha _{p}\right)_{n}}{\left(\gamma _{1}\right)_{n}\left(\gamma _{2}\right)_{n}\cdots \left(\gamma _{q}\right)_{n}}}z^{n},}$

где ${\displaystyle (x)_{n}\equiv x(x+1)\ldots (x+n-1)}$. В этих обозначениях ряд ${\displaystyle (*)}$ записывается как ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;z)}$.