Геометрические вероятности

Геометри́ческие вероя́тности, вероятности событий, связанных со взаимным расположением геометрических фигур, случайно размещённых на плоскости или в пространстве. Простейший пример: в область ${\displaystyle A}$ на плоскости наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в область ${\displaystyle B}$, лежащую внутри ${\displaystyle A}$? Принимая, что искомая вероятность зависит лишь от «формы» области, но не от её «положения» внутри ${\displaystyle A}$, приходят к выводу, что она единственным образом определяется как отношение площади ${\displaystyle B}$ к площади ${\displaystyle A}$.

Сделанное допущение об инвариантности рассматриваемых вероятностей относительно группы преобразований евклидова пространства, включающей сдвиги, вращения и отражения, типично для большинства задач о геометрических вероятностях. Ответ обычно получается в форме отношения инвариантной меры множества «благоприятных случаев» к инвариантной мере множества «всех возможных случаев» (см. Интегральная геометрия); аналогия с классическим определением вероятности здесь очевидна. Можно отметить, что в связанном с геометрическими вероятностями парадоксе Бертрана только один ответ удовлетворяет условию инвариантности.

Первым примером подсчёта геометрических вероятностей была задача Бюффона, положившая начало идее случайности в геометрии. 200-летняя история развития этой идеи слагается из периодов энтузиазма и интенсивной разработки, сменяемых периодами недооценки и падения интереса к предмету. Наблюдающийся во 2-й половине 20 в. подъём в этой области привёл к значительному расширению круга рассматриваемых моделей (например, к изучению случайных множеств, полей прямых, т. н. полей волокон и т. п.), и теория геометрических вероятностей стала частью нового раздела теории вероятностей – стохастической геометрии.