Гармонический ряд

Гармони́ческий ряд, числовой ряд

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots +{\frac {1}{n}}+\ldots }$.

Каждый член гармонического ряда, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних, этим объясняется название гармонического ряда. При увеличении ${\displaystyle n}$ члены гармонического ряда стремятся к нулю, но гармонический ряд расходится, что было доказано Н. Оремом (около 1350), итальянским математиком П. Менголи (1650), братьями И. и Я. Бернулли в конце 17 в. и Г. В. Лейбницем (1673). Л. Эйлером (1740) было получено асимптотическое выражение для суммы ${\displaystyle s_{n}}$ первых ${\displaystyle n}$ членов гармонического ряда, ${\displaystyle s_{n}=lnn+C+\epsilon _{n}}$, где ${\displaystyle C=0,5772156649\ldots }$ – постоянная Эйлера, а ${\displaystyle \epsilon _{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. Обобщённый гармонический ряд

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{\alpha }}}+{\frac {1}{3^{\alpha }}}+\ldots +{\frac {1}{n^{\alpha }}}\ldots }$

сходится при ${\displaystyle \alpha >1}$ и расходится при ${\displaystyle \alpha <1}$.

Cм. также Дзета-функция.