Вырожденное эллиптическое уравнение

Вы́рожденное эллипти́ческое уравне́ние, дифференциальное уравнение с частными производными

${\displaystyle F(x,Du)=0}$ (1),

где действительная функция ${\displaystyle F(x,q)}$ удовлетворяет условиям

${\displaystyle \sum _{|\alpha |=m}{\frac {\partial F(x,Du)}{\partial q_{\alpha }}}\xi ^{\alpha }\geqslant 0}$ (2)

для всех действительных ${\displaystyle \xi }$ и существует ${\displaystyle \xi \neq 0}$, при котором в соотношении ${\displaystyle (2)}$ достигается равенство. Здесь ${\displaystyle x}$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)}$; ${\displaystyle u(x)}$ – искомая функция, ${\displaystyle \alpha }$ – мультииндекс ${\displaystyle \left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)}$; ${\displaystyle Du}$ – вектор с компонентами

${\displaystyle D^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\ldots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$,

причём в уравнение ${\displaystyle (1)}$ входят производные порядка не выше ${\displaystyle m}$; ${\displaystyle q_{\alpha }}$ – компоненты вектора ${\displaystyle q}$; ${\displaystyle \xi }$ есть ${\displaystyle n}$-мерный вектор ${\displaystyle \left(\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{n}\right)}$ и ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}},\xi _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \xi _{n}^{\alpha _{n}}}$. Если в соотношении ${\displaystyle (2)}$ для каких-либо ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle Du}$ и для всех действительных ${\displaystyle \xi \neq 0}$ выполняется строгое неравенство, то уравнение ${\displaystyle (1)}$ в точке ${\displaystyle (x,Du)}$ является эллиптическим. Уравнение ${\displaystyle (1)}$ вырождается в тех точках ${\displaystyle (x,Du)}$, где соотношение ${\displaystyle (2)}$ обращается в равенство для какого-либо действительного ${\displaystyle \xi \neq 0}$. Если равенство достигается лишь на границе рассматриваемой области, то уравнение называется вырождающимся на границе области. Наиболее исследованы линейные вырожденные эллиптические уравнения 2-го порядка

${\displaystyle \sum a^{ik}(x)u_{x_{i}x_{k}}+\sum b^{i}(x)u_{x_{i}}+c(x)u=f(x)}$,

где матрица ${\displaystyle \|\left(a^{ik}(x)\|\right.}$ неотрицательно определённая для всех рассматриваемых значений ${\displaystyle x}$.

См. также статью Вырожденное уравнение с частными производными.