Возмущённое движение

Возмущённое движе́ние, движение механической системы, отличающееся от рассматриваемого невозмущённого движения вследствие изменения начальных условий и действующих сил. Для исследования возмущённого движения широко применяется метод малых отклонений. При малых отклонениях уравнение движения механической системы (например, летательного аппарата) имеет вид:

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}x_{1}}{{\textrm {d}}t}}=f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$
${\displaystyle {\ldots }\,}$
${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}x_{n}}{{\textrm {d}}t}}=f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$,

где ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ – переменные (параметры движения), определяющие движение летательного аппарата, например скорость полёта, угловые скорости, угол атаки, угол скольжения, угол наклона траектории, высота и т. д.; ${\displaystyle t}$ – время. Предполагается, что известно невозмущённое движение – частный случай решения выписанных уравнений при определённых начальных условиях: ${\displaystyle x_{1}^{(0)}(t),\ldots ,x_{n}^{(0)}(t)}$ (обычно невозмущённому движению отвечают постоянные значения параметров движения).

Пусть начальные условия, заданные в момент времени ${\displaystyle t_{0}}$ для системы дифференциальных уравнений, отличаются от значений ${\displaystyle x_{1}^{(0)}(t),\ldots ,x_{n}^{(0)}(t)}$, и пусть в правых частях уравнений появляются дополнительные слагаемые ${\displaystyle {\textrm {g}}_{1}(t),\ldots ,{\textrm {g}}_{n}(t)}$, обусловленные влиянием возмущений (например, ветровых). Тогда во многих случаях решение системы уравнений можно искать в виде ${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{(0)}+\Delta x_{i}\ (i=1,\ldots ,n)}$, где приращения ${\displaystyle \Delta x_{i}(t)}$ определяют возмущённое движение [в частности, характер изменения этих приращений во времени при ${\displaystyle {\textrm {g}}_{i}(t)=0,\Delta x_{i}\mid _{t=0}=0}$ определяет устойчивость движения].

Уравнения возмущённого движения имеют вид:

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\Delta x_{1}}{{\textrm {d}}t}}=f_{1}(x_{1}^{(0)}+\Delta x_{1},\ldots ,x_{n}^{(0)}+\Delta x_{n})-f_{1}(x_{1}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)})+{\textrm {g}}_{1}(t),}$
${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\Delta x_{n}}{{\textrm {d}}t}}=f_{n}(x_{1}^{(0)}+\Delta x_{1},\ldots ,x_{n}^{(0)}+\Delta x_{n})-f_{n}(x_{1}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)})+{\textrm {g}}_{n}(t)}$.

Если приращения параметров движения достаточно малы, то правые части этой системы уравнений можно упростить, разлагая разности ${\displaystyle f_{1}(x_{1}^{(0)}+\Delta x_{1},\ldots ,x_{n}^{(0)}+\Delta x_{n})-f_{1}(x_{1}^{(0)},\ldots ,x_{n}^{(0)})}$ в ряд Тейлора, и, отбрасывая малые высшего порядка, выписать линеаризованную систему уравнений возмущённого движения:

${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\Delta x_{1}}{{\textrm {d}}t}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\ldots \,+{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+{\textrm {g}}_{1}(t),}$
${\displaystyle \ldots }$
${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\Delta x_{n}}{{\textrm {d}}t}}={\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\ldots \,+{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+{\textrm {g}}_{n}(t)}$,

где ${\displaystyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial f_{i}[x_{1}^{(0)}(t),\ldots ,x_{n}^{(0)}(t)]}{\partial x_{j}}}}$.

Если невозмущённому движению отвечают постоянные значения параметров, то система дифференциальных уравнений возмущённого движения является линейной системой с постоянными коэффициентами. Линеаризованная система уравнений возмущённого движения часто применяется для анализа характеристик поведения механической системы (например, устойчивости).