Мера Винера

Ме́ра Ви́нера (винеровская мера), вероятностная мера ${\displaystyle \mu _{W}}$, определённая на пространстве ${\displaystyle C[0,1]}$ непрерывных числовых функций ${\displaystyle x(t)}$, заданных на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, следующим образом. Пусть ${\displaystyle 0<t_{1}<\ldots <t_{n}\leqslant 1}$ – произвольный набор точек из ${\displaystyle [0,1]}$, ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ – борелевские множества на прямой. Пусть ${\displaystyle C(t_{1},\ldots t_{n};A_{1},\ldots A_{n})}$ обозначает множество функций ${\displaystyle x(t)}$ из ${\displaystyle C[0,1]}$, для которых ${\displaystyle x(t_{k})\in A_{k}}$, ${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$. Тогда</t_1<\ldots<t_n\leqslant></math>

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{W}{\bigl (}C(t_{1},\ldots t_{n};A_{1},\ldots A_{n}){\bigr )}=\int \limits _{A_{1}}p(t_{1},x_{1})\,dx_{1}\int \limits _{A_{2}}p(t_{2}-t_{1},x_{2}-x_{1})\,dx_{2}\,\ldots \\\ldots \int \limits _{A_{n}}p(t_{n}-t_{n-1},x_{n}-x_{n-1})\,dx_{n},\end{aligned}}}$

где

${\displaystyle p(t,x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2t}}\right)}$.

С помощью теоремы о продолжении меры можно, исходя из равенства (*), определить значение меры ${\displaystyle \mu _{W}}$ на всех борелевских множествах пространства ${\displaystyle C[0,1]}$.