Вариация произвольных постоянных

Вариа́ция произво́льных постоя́нных, метод решения линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных систем (или уравнений). Этот метод позволяет записать в замкнутой форме общее решение неоднородной системы, если известно общее решение соответствующей однородной системы. Идея метода вариации произвольных постоянных состоит в том, что произвольные постоянные, входящие в общее решение однородной системы, заменяются функциями независимой переменной, которые подбираются так, чтобы удовлетворить неоднородной системе. В конкретных задачах этот метод применялся ещё Л. Эйлером и Д. Бернулли, но его полная разработка принадлежит Ж.-Л. Лагранжу (^[1]).

Пусть рассматривается задача Коши для линейной неоднородной системы

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+f(t),\quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}}$ (1),

где

${\displaystyle {\begin{aligned}A:(\alpha ,\beta )&\longrightarrow \operatorname {Hom} \left(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{n}\right),\\f:(\alpha ,\beta )&\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}\end{aligned}}}$

– суммируемые на каждом конечном отрезке отображения, ${\displaystyle t_{0}\in (\alpha ,\beta )}$. Если ${\displaystyle \Phi (t)}$ – фундаментальная матрица решений однородной системы

${\displaystyle {\dot {y}}=A(t)y}$ (2),

то ${\displaystyle y=\Phi (t)c}$, ${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{n}}$, – общее решение этой системы. Вариация произвольных постоянных представляет собой замену переменных в системе ${\displaystyle (1)}$:

${\displaystyle x=\Phi (t)u}$

и приводит к формуле Коши для решения задачи ${\displaystyle (1)}$:

${\displaystyle x=\Phi (t)\Phi ^{-1}\left(t_{0}\right)x_{0}+\Phi (t)\int _{t_{0}}^{t}\Phi ^{-1}(\tau )f(\tau )d\tau }$,

которую называют иногда формулой вариации (произвольных) постоянных (см. также Линейное обыкновенное дифференциальное уравнение).

Идею вариации произвольных постоянных иногда удаётся использовать в более общей нелинейной ситуации для описания связи решений возмущённой полной системы и решений невозмущённой укороченной системы (cм. Alekseev. 1961; ^[2]). Например, для решения ${\displaystyle x(t)}$ задачи

${\displaystyle {\dot {x}}=A(t)x+f(t,x),\quad x\left(t_{0}\right)=x_{0}}$

(где ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle f}$ – непрерывные отображения и где обеспечивается условие единственности решения) справедлива формула вариации произвольных постоянных, являющаяся интегральным уравнением:

${\displaystyle x(t)=\Phi (t)\Phi ^{-1}\left(t_{0}\right)x_{0}+\Phi (t)\int _{t_{0}}^{t}\Phi -1(\tau )f(\tau ,x(\tau ))d\tau }$;

здесь ${\displaystyle \Phi (t)}$ – фундаментальная матрица решений системы ${\displaystyle (2)}$.