Аналитический полиэдр

Аналити́ческий полиэ́др, область ${\displaystyle \Pi }$ комплексного пространства ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 1}$, представимая посредством неравенств ${\displaystyle \left|f_{i}(z)\right|<1}$, где функции ${\displaystyle f_{i}(z)}$, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,m}$, голоморфны в некоторой области ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$, содержащей ${\displaystyle \Pi }$, т. е. ${\displaystyle \Pi =\left\{z\in D;\left|f_{i}(z)\right|<1,\,i=1,2,\ldots ,m\right\}}$. Предполагается также, что ${\displaystyle \Pi }$ компактна в ${\displaystyle D}$. В случае если ${\displaystyle f_{i}(z)}$ – полиномы, аналитический полиэдр называется полиномиальным полиэдром. Если ${\displaystyle m=n}$ и ${\displaystyle f_{i}(z)=a_{i}z_{i}}$, аналитический полиэдр является поликругом. Гранями аналитического полиэдра называются множества ${\displaystyle \sigma _{i}=\left\{z\in D;\,\left|f_{i}(z)\right|=1;\,\left|f_{j}(z)\right|<1,\,j\neq i\right\}}$. Пересечение любых ${\displaystyle k}$ различных граней ${\displaystyle (2\leqslant k\leqslant n)}$ называется ребром аналитического полиэдра. Если ${\displaystyle m\geqslant n}$ и все грани имеют размерность ${\displaystyle 2n-1}$, а каждое ребро – размерность не выше ${\displaystyle 2n-k}$, то аналитический полиэдр есть область Вейля. Совокупность ${\displaystyle n}$-мерных рёбер ${\displaystyle \sigma _{i_{1}\ldots i_{n}}=\sigma _{i_{1}}\cap \ldots \cap \sigma _{i_{n}}}$ образует остов аналитического полиэдра. Понятие аналитического полиэдра играет существенную роль в вопросах интегральных представлений аналитических функций многих переменных.